抛物线上求平行四边形的存在性（抛物线上存在平行四边形万能公式）

从参数到定值，抛物线下的平行四边形存在性探究

我们将含参数的二次函数解析式通常称为动态抛物线，研究这类动态函数图象，需要对二次函数图象与性质有深入的理解，比例开口方向、对称轴、顶点坐标分别由哪些参数决定，它们之间的关系是什么等；而对于几何图形在二次函数背景下的应用，则需要观察它们的特殊点的坐标及特殊边所在直线的解析式，同时还要了解本身具备的几何性质，两方面结合起来，才更容易找到解题的思路。

存在性探究，是近年来全国各地压轴题的一种命题方向，即给定条件，探索此种条件下结论的存在性，基本思路就是在该条件为出发点推导，得到符合的结论。

题目

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c(c>0)的顶点为D，与y轴相交于点C，过点的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连接OA，OB，DA和DB.

(1)如图1，当AC∥x轴时，

①已知点A的坐标是(-2,1)，求抛物线的解析式；

②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b²=4c；

(2)如图2，若b=-2，BC/AC=3/5，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：

(1)当AC∥x轴时，请注意此时A、B、C三点纵坐标相同，后面两个结论的证明都会用到它；

①给出A(-2,1)，相当于也给出了C(0,1)，于是解析式中的参数c=1，再将点A坐标代入y=-x²+bx+1中，求出b=-2，于是y=-x²-2x+1；

②和前一小问相比，少了点A坐标，即抛物线解析式不确定，增加了平行四边形AOBD，因此需要对这个几何条件进行解读，仍然注意A、B、C三点纵坐标相同，其中点C(0,c)，我们将y=c代入y=-x²+bx+c中，得到x²-bx=0，解得x1=0，x2=b，所以求出了A(b,c)，由抛物线顶点公式写出D(b/2,c+b²/4)；

对于平行四边形AOBD中对边平行且相等，可以这样来看，点A向右向上平移若干个单位得到点D，同样的，点O向右向上平移相同个单位得到点B，点A与点D纵坐标相差b²/4个单位，因此得到点B纵坐标为b²/4，所以b²/4=c，即b²=4c；

另一种解读则是△ABD和△AOB是一对全等三角形，则它们对应边AB上的高相等，即A、D两点纵坐标的差等于点B纵坐标；

(2)将b=-2代入解析式中，得y=-x²-2x+c，而BC:AC=3:5这个条件，可构造一对相似三角形，过点A、B分别向y轴作垂线，如下图：

对于△ACF∽△BCE，它们的相似比是5：3，因此我们在设点A坐标时，不妨利用好这个相似比，设点B横坐标为3t，点A横坐标为-5t，其中t>0；

点A在抛物线上，则A(-5t,-25t²+10t+c)，再写出顶点D(-1,c+1)，和前面解读平行四边形条件的方法类似，从点A到点D，横坐标增加了5t-1，纵坐标增加了25t²-10t+1，因此从点O到点B，应该进行同样的坐标变化，所以B(5t-1,25t²-10t+1)，前面我们设点B横坐标为3t，于是3t=5t-1，解得t=1/2，则B(3/2,9/4)，A(-5/2,c-5/4)；

现在可表示出CE=9/4-c，CF=c-(c-5/4)=5/4，且CE:CF=3:5，列出方程为15/4=5(9/4-c)，解得c=3/2，则存在这样的点A(-5/2,1/4)；

解题反思

本题解法不止一种，从不同角度看条件，能得到不同思路，这也是命题较为开放的结果，对于这一类问题，含参数的抛物线，一旦参数成为定值，则变成静态图，相对就好处理得多，因此，每个参数究竟对函数图象有什么影响，需要在初学抛物线时，加深对基本图象性质的理解。

对于二次函数的教学，教材中的例题往往都带有扩展性，虽然题目本身很基础，但不影响我们在教学过程中对其进行改编，将数字系数换成参数便是一种变式方法，对于参数，并不需要过于害怕，我们的一般式、顶点式、交点式，都是用参数书写。

关于几何图形在二次函数中的应用，优先考虑其几何性质，再从解析的角度去解释，二者需要结合起来，才能在解题时游刃有余。

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