并联电阻公式推导过程（电阻的串并联接与分压分流公式）

电阻，在电路中最早被认识的元件，也是最简单的元件。除了具有具体阻值的电阻器（如色环电阻、贴片电阻等）外，我们日常生活中常用的电炉、电热棒等家用电器，其电路模型也是电阻。另外，输电导线有时候也会等效为电阻。

电阻在电路中的连接方式有很多，最简单、最常用的就是串联与并联。而在讲电阻串并联之前，我们有必要先了解电阻元件的特性，即在电压和电流方向一致时，在任何时刻，电阻两端的电压和电流遵循欧姆定律：u = iR 。

其中R是电阻元件的参数，称为元件的电阻，是一个大于零的常数，单位为欧姆[Ω]，简称“欧”。所以，我们日常中所说的“电阻”，有时候表示的是电阻元件，有时候又表示电阻元件的阻值。

电阻除了可以用电压除以电流求解外，还可以根据其他参数求解，如下图1-1所示。

图1-1

电阻R与长度l（L的小写）成正比，与横截面积S成反比，式中ρ为比例系数，由导体的材料和周围温度所决定，称为电阻率。当然，图1-1所示的公式，仅适用于由某种材料制成的柱形均匀导体，如导线、大部分金属。

在了解了电阻的一般性质后，我们开始这次的内容讲解吧。

一、电阻的串联

所谓电阻串联，是指流过每个电阻的电流为同一电流。换言之，各个串联电阻之间没有（支路）分支电流。其总电阻直接等于各个分电阻直接相加，如下图1-2所示。显然，总电阻大于任一串联电阻。

图1-2

根据图1-1，电阻的阻值正比于其长度，所以电阻串联，就好比增大了长度，串得越多，长度越长，阻值也就越大。

另外，根据欧姆定律，可以得出两个串联电阻的分压公式，如下图1-3所示。这说明，各串联电阻的电压与其阻值成正比，阻值越大的电阻，分得的电压就越大。

图1-3

例如两个阻值分别为20Ω和80Ω的电阻串联，如图1-4所示，接入10V电压，可以马上得出各个电阻的电压。

图1-4

依次类推，有多个电阻串联时，它们的电压也是与其阻值成正比，就跟圆饼图一样，总电压和总电阻是整个圆饼，各个电阻所得电压，就看各个电阻占总电阻的比例。

二、电阻并联

所谓电阻并联，是指各电阻的电压为同一电压。换言之，所有并联电阻共用2个结点，首首相连，尾尾相连，如下图1-5所示。

图1-5

显然，等效电阻小于任一个并联的电阻。这是因为并联电阻中，总电阻的倒数等于各个并联电阻的倒数之和，也就是说，总电阻的倒数肯定大于任一并联电阻的倒数。又因为在分数中，分子相同时，分母越大的分数就越小，例如1/5和1/6两个分数，分子同为1，分母6比5大，所以分数1/6小于1/5。

同理，由于总电阻的倒数大于任一并联电阻的倒数，所以作为分母的总电阻肯定小于任一并联电阻（各个并联电阻倒数的分母）。

这让我想起我曾经做过的一道选择题，其内容大概如图1-6所示，然后有ABCD4个选项，但只有一个选项的阻值是小于12Ω的，其他三个选项都是大于12Ω，所以根据电阻并联的特性，答案不用我说，大家也知道了吧。

图1-6

类似两个电阻串联的分压公式，两个电阻并联也有分流公式，如下图1-7所示。这表明，各并联电阻的电流与其阻值成反相关，即该电阻越大，其电流就越小。另外，大家可以发现，分流公式中，各支路电流公式的分子为另一支路电阻。

图1-7

可能有的读者就有疑问了，明明是我的支路电流公式，为什么分子却是另一个电阻的阻值呢？这其实就是一个数学计算的过程，如图1-8所示。

图1-8

图1-8给出的详细计算过程，其实就是简单的分数计算。不过这个仅适用于两个电阻的并联，如果第三个或三个以上电阻并联，图1-7的公式就不能用了，不过大家可以按照图1-8的计算过程自行推理。