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证明平行四边形的几种方法(数学中平行四边形的判定方法)

娇娇1年前 (2023-02-13)学习教育111

判定平行四边形的方法通常有五种,即定义和四个判定定理.做题时,一定要结合题中的条件,选择恰当的方法,以达到简捷、快速的解题.下面分别进行说明.

方法一,利用两组对边分别平行判定平行四边形.(从边考虑,定义法)

1.如图,在平行四边形ABCD中,BD是它的一条对角线,过A,C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,延长AE,CF分别交CD,AB于M,N.

(1)求证四边形CMAN是平行四边形;

(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.

证明平行四边形的几种方法(数学中平行四边形的判定方法)(1)

【分析】(1).题中已知平行四边形ABCD,则AB∥CD,则四边形CMAN的一组边MC∥AN,当已知中四边形已有一组边平行时,我们可以考虑四边形的这组对边相等或另一组对边平行,具体用哪一种?我们再看条件分析决定,题中又已知AE⊥BD,CF⊥BD,则AE∥CF,即AM∥CN,这样四边形CMAN的两组对边平行,可判定出四边形CMAN为平行四边形.

(2)要求BN的长度,在Rt△NFB中,已有FN=3,若能求出BF的长度,利用勾股定理可求得.条件中DE=4,结合平行四边形ABCD,AD=BC,AD∥BC,得∠ADE=∠CBF,又可知∠AED=∠CFB,可证得△AED≌△CFB,∴BF=DE=4,这样在Rt△NFB中,可得BN=5.

2.如图,平行四边形的对角线AC,BD相交于点O,点M、N、P、Q分别是OA,OB,OC,OD的中点,求证四边形MNPQ是平行四边形.

证明平行四边形的几种方法(数学中平行四边形的判定方法)(2)

【分析】条件有平行四边形ABCD,则有AB∥CD,AD∥BC,又M、N、P、Q分別是OA,OB,OC,OD的中点,依据中位线定理,则有MN∥AB,PQ∥CD,NP∥BC,MQ∥AD,那么又可得到MN∥PQ,NP∥MQ,则四边形MNPQ为平行四边形.当然本题也可用两组对边分别相等或一组对边平行且相等来证.

方法二,利用两组对边分别相等判定平行四边行(从边考虑)

3.如图,已知△ABD,△BCE,△ACF都是等边三角形,求证:四边形ADEF是平行四边形.

证明平行四边形的几种方法(数学中平行四边形的判定方法)(3)

【分析】依据条件△ABD,△BCE是等边三角形,可知BC=BE,BA=BD,∠DBE=∠ABC=60°一∠EBA,则可得△DBE≌△ABC,可得DE=AC,又△ACF为等边三角形,AC=AF,∴DE=AF,同理可证△EFC≌△BAC,则EF=BA,而BA=AD,则EF=AD,这样可证得四边形ADEF是平行四边形.

方法三,利用一组对边平行且相等判定平行四边形(从边考虑)

4.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上的两点,且AE=CF,DF∥BE,求证:四边形ABCD为平行四边形.

证明平行四边形的几种方法(数学中平行四边形的判定方法)(4)

【分析】要证四边形ABCD为平行四边形,已有条件AB∥CD,再证AD∥BC,或AB=CD,再看条件DF∥BE,则∠DFE=∠BEF,∴∠DFC=∠BEA,而AB∥CD,可得∠DCF=∠BAE,加上AE=CF,∴△DFC≌△BEA,∴DC=AB,那么就可证得四边形ABCD为平行四边形.

5.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AD上,连接BE,DF∥BE交BC于点F,AF与BE交于点M,CE与DF交于点N,求证:四边形MFNE是平行四边形.

证明平行四边形的几种方法(数学中平行四边形的判定方法)(5)

【分析】∵DF∥BE,又四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,则ED∥BF,∴四边形EBFD为平行四边形(方法一),∴ED=BF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,则AE=FC,而AE∥FC,∴四边形AFCE是平行四边形(方法三),∴AF∥CE,加上条件DF∥BE,∴四边形MFNE是平行四边形(方法一).

6.如图,在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边AB,DC上,作直线MN,分别交DA和BC的延长线于点E,F,且AE=CF,求证:四边形BNDM是平行四边形.

证明平行四边形的几种方法(数学中平行四边形的判定方法)(6)

【分析】要证四边形BNDM为平行四边形,已有四边形ABCD为平行四边形,则AB∥CD,则BM∥DN,而题中有AE=CF这一条件,可以证出△EAM≌△FCN,得出AM=CN,由于AB=CD,可得BM=DN,从而可证.△EAM≌△FCN可用(∠AEM=∠CFN,∠EAM=∠ABC=∠NCF,AE=CF)证出.

方法四,利用两组对角分别相等判定平行四边形(从角考虑)

7.如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,DE平分∠ADC交BC于点F,求证:四边形BFDE是平行四边形.

证明平行四边形的几种方法(数学中平行四边形的判定方法)(7)

【分析】当题中给出角的关系时,可考虑方法四,本题中由于四边形ABCD是平行四边形,

∴∠A=∠C,∠ABC=∠ADC,而BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,∴∠ABE=∠CBE=1/2∠ABC,∠CDF=∠ADF=1/2∠ADC,∴∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF,∵∠DFB=∠C+∠CDF,∠BED=∠ABE+∠A,∴∠DFB=∠BED,加上∠CBE=∠ADF,∴四边形BFDE是平行四边形.

方法五,利用对角线互相平分判定平行四边形(从对角线考虑)

8.如图,平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD,BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH,求证:四边形EGFH是平行四边形.

证明平行四边形的几种方法(数学中平行四边形的判定方法)(8)

【分析】当题中出现有关对角线的条件时,可考虑方法五,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,又AO=OC,∠AOE=∠COF,∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF,同理可得OG=OH,∴四边形EGFH是平行四边形.

【总结】平行四边形的判定,常见的是以上五种方法,具体证题时,结合条件灵活运用某种方法,有的题目证明方法并不只一种,我们力求简捷明了,同时也可一题多解达到熟记判定方法,提高解题能的目的。

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