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平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)

娇娇1年前 (2023-02-25)学习教育160

【考试要求】

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理;

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.

【知识梳理】

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.

(2)判定定理与性质定理

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(1)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(2)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(3)

【微点提醒】

平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.

(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.

(3)两个平面平行,则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(4)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(5)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(6)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(7)

【考点聚焦】

考点一 与线、面平行相关命题的判定

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(8)

【规律方法】 1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项.

2.(1)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.

(2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情况,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(9)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(10)

考点二 直线与平面平行的判定与性质

角度1 直线与平面平行的判定

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(11)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(12)

角度2 直线与平面平行性质定理的应用

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(13)

【规律方法】 1.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.

2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反.

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(14)

考点三 面面平行的判定与性质

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(15)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(16)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(17)

【规律方法】 1.判定面面平行的主要方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).

2.面面平行条件的应用

(1)两平面平行,分析构造与之相交的第三个平面,交线平行.

(2)两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.

【提醒】 利用面面平行的判定定理证明两平面平行,需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(18)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(19)

【反思与感悟】

1.转化思想:三种平行关系之间的转化

其中线面平行是核心,线线平行是基础,要注意它们之间的灵活转化.

2.直线与平面平行的主要判定方法

(1)定义法;(2)判定定理;(3)面面平行的性质.

3.平面与平面平行的主要判定方法

(1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β⇒α∥β.

【易错防范】

1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误.

2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.

3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,易误认为这两个平面平行,实质上也可以相交.

4.运用性质定理,要遵从由“高维”到“低维”,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(20)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(21)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(22)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(23)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(24)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(25)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(26)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(27)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(28)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(29)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(30)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(31)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(32)

平行的定义和性质(直线与平面平行判定及性质)(33)

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